End of NBO
Signed-off-by: Riccardo Finotello <riccardo.finotello@gmail.com>
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349
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349
sec/app/massive.tex
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@@ -0,0 +1,349 @@
|
||||
We report the full expression of the overlap with two derivatives considered in the main text.
|
||||
It corresponds to the colour ordered amplitude of two tachyons and one level-2 massive state:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
K
|
||||
& =
|
||||
\cN^2
|
||||
\int \dd[D]{x}\,
|
||||
\sqrt{-\det g}
|
||||
\\
|
||||
& \times
|
||||
\Biggl[
|
||||
u^{-3}\, \ffs^{(-3)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
||||
+
|
||||
u^{-2}\, \ffs^{(-2)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
u^{-1}\, \ffs^{(-1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
||||
+
|
||||
\ffs^{(0)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
u\, \ffs^{(1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
||||
\Biggr]~
|
||||
\prod_{j = 1}^3 \phi_{\kmkrN{j}}
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
where $i = 1,\, 2,\, 3$ and:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\ffs^{(-3)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
||||
& =
|
||||
\Biggl(
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^4\, l_{\qty(3)}^4
|
||||
-
|
||||
4\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}^3
|
||||
}{%
|
||||
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& -
|
||||
\frac{%
|
||||
6\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\,l_{\qty(3)}^2 + k_{\qty(3)\, +}^4\, l_{\qty(2)}^4
|
||||
}{%
|
||||
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
|
||||
}
|
||||
\Biggr)\,
|
||||
\cS_{v\, v},
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\ffs^{(-2)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
||||
& =
|
||||
\Biggl(
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
3 i\, \qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}^2
|
||||
+
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^3\, l_{\qty(3)}^2
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, \qty(%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
||||
+
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& -
|
||||
\frac{%
|
||||
3 i\, \qty(%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^3\, l_{\qty(2)}^2
|
||||
+
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
||||
}
|
||||
\Biggr)\,
|
||||
\cS_{v\, v}
|
||||
\\
|
||||
& -
|
||||
\qty(%
|
||||
\frac{%
|
||||
l_{\qty(3)}\,
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2-3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
||||
+
|
||||
3\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta^2
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\, z},
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\ffs^{(-1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
||||
& =
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
-
|
||||
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)^2
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\, v}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\Biggl(
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
||||
+
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
||||
}{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\frac{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\frac{%
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
6\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, \Delta
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}^4\, \Delta
|
||||
}{%
|
||||
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2
|
||||
}
|
||||
\Biggr)\,
|
||||
\cS_{v\, v}
|
||||
\\
|
||||
& -
|
||||
\Biggl(%
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, \qty(%
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
+
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2
|
||||
}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, \qty(%
|
||||
2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}
|
||||
+
|
||||
3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2
|
||||
}
|
||||
\Biggr)\,
|
||||
\cS_{v\, z}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
\frac{%
|
||||
k_{\qty(2)\, i}\, l_{\qty(3)}\,
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
-
|
||||
2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\,{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
-
|
||||
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)^2
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{z\, z},
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\ffs^{(0)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
||||
& =
|
||||
\qty(%
|
||||
-\frac{%
|
||||
i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\, v}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\,
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
-
|
||||
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\, z}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, \qty(%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
+
|
||||
k_{\qty(2)\, +})\, \Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
|
||||
}{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\, v}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
l_{\qty(3)}\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
|
||||
-
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\, z}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\,{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{z\, z}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
\frac{%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, i}\,
|
||||
\qty(%
|
||||
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
||||
-
|
||||
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
||||
)
|
||||
}{%
|
||||
k_{\qty(3)\, +}
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{z\,{i}},
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\ffs^{(1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
||||
& =
|
||||
\qty(%
|
||||
-k_{\qty(2)\, +}^2\, \Delta
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\, u}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-\Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\, v}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{u\,{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
-
|
||||
\frac{%
|
||||
\Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)^2
|
||||
}{%
|
||||
4\, k_{\qty(2)\, +}^2
|
||||
}
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\, v}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(%
|
||||
2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
||||
)\,
|
||||
\cS_{v\,{i}}
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\qty(- k_{\qty(2)\, i} k_{\qty(2)\, j}\, \Delta)\,
|
||||
\cS_{{i}\,{j}}.
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
|
||||
292
sec/app/tensor_wave.tex
Normal file
292
sec/app/tensor_wave.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,292 @@
|
||||
For the sake of completeness we report the expression of the full \nbo tensor wave function.
|
||||
In what follows $L = \frac{l}{k_+}$.
|
||||
We have
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{split}
|
||||
\mqty(
|
||||
S_{u\, u}
|
||||
\\
|
||||
S_{u\, v}
|
||||
\\
|
||||
S_{u\, z}
|
||||
\\
|
||||
S_{u\, i}
|
||||
\\
|
||||
S_{v\, v}
|
||||
\\
|
||||
S_{v\, z}
|
||||
\\
|
||||
S_{v\, i}
|
||||
\\
|
||||
S_{z\, z}
|
||||
\\
|
||||
S_{z\, i}
|
||||
\\
|
||||
S_{i\, i}
|
||||
)
|
||||
& =
|
||||
\Biggl\lbrace
|
||||
\cS_{u\, u}
|
||||
\mqty(
|
||||
1
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
+
|
||||
\cS_{u\, v}
|
||||
\mqty(
|
||||
\frac{i}{k_+\, u} + \frac{L^2}{\Delta^2\, u^2}
|
||||
\\
|
||||
1
|
||||
\\
|
||||
L
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
+
|
||||
\cS_{u\, z}
|
||||
\mqty(
|
||||
\frac{2\, L}{\Delta\, u}
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\Delta\, u
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
+
|
||||
\cS_{u\, i}
|
||||
\mqty(
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
1
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\cS_{v\, v}
|
||||
\mqty(
|
||||
-\frac{3}{4\, k_+^2\, u^2}
|
||||
+
|
||||
\frac{3\, i\, L^2}{2\, \Delta^2\, k_+\, u^3}
|
||||
+
|
||||
\frac{L^4}{4\, \Delta^4\, u^4}
|
||||
\\
|
||||
\frac{i}{2\, k_+\, u}
|
||||
+
|
||||
\frac{L^2}{2\, \Delta^2\, u^2}
|
||||
\\
|
||||
\frac{3\, i\, L}{2\, k_+\, u}
|
||||
+
|
||||
\frac{L^3}{2\, \Delta^2\, u^2}
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
1
|
||||
\\
|
||||
L
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\frac{i\, \Delta^2\, u}{k_+}
|
||||
+
|
||||
L^2
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
+
|
||||
\cS_{v\, z}
|
||||
\mqty(
|
||||
\frac{3\, i\, L}{\Delta\, k_+\, u^2}
|
||||
+
|
||||
\frac{L^3}{\Delta^3\, u^3}
|
||||
\\
|
||||
\frac{L}{\Delta\, u}
|
||||
\\
|
||||
\frac{3\, L^2}{2\, \Delta\, u}
|
||||
+
|
||||
\frac{3\, i\, \Delta}{2\, k_+}
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\Delta\, u
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
2\, \Delta\, L\, u
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
)\,
|
||||
\\
|
||||
& +
|
||||
\cS_{v\, i}
|
||||
\mqty(
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\frac{i}{2\, k_+\, u}
|
||||
+
|
||||
\frac{L^2}{2\, \Delta^2\, u^2}
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\\
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0
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\\
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0
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1
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\\
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0
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\\
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L
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\\
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0
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\\
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)\,
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+
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\cS_{z\, z}
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\mqty(
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\frac{i}{k_+\, u}
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+
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\frac{L^2}{\Delta^2\, u^2}
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\\
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0
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\\
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L
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\\
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0
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\\
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0
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\\
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0
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\\
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0
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\\
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\Delta^2\, u^2
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\\
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0
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\\
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0
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\\
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)\,
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+
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\cS_{z\, i}
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\mqty(
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0
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\\
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0
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\\
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0
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\\
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\frac{L}{\Delta\, u}
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0
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0
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0
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0
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\\
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\Delta\, u
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0
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\\
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)\,
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\\
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& +
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\cS_{i\, j}
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\mqty(
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0
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\\
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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\\
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\delta_{i j}
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\\
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)\,
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\Biggr\rbrace
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||||
\phi_{\kmkr}.
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\end{split}
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\end{equation}
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