350 lines
7.1 KiB
TeX
350 lines
7.1 KiB
TeX
We report the full expression of the overlap with two derivatives considered in the main text.
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It corresponds to the colour ordered amplitude of two tachyons and one level-2 massive state:
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\begin{equation}
|
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\begin{split}
|
|
K
|
|
& =
|
|
\cN^2
|
|
\int \dd[D]{x}\,
|
|
\sqrt{-\det g}
|
|
\\
|
|
& \times
|
|
\Biggl[
|
|
u^{-3}\, \ffs^{(-3)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
|
+
|
|
u^{-2}\, \ffs^{(-2)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
u^{-1}\, \ffs^{(-1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
|
+
|
|
\ffs^{(0)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
u\, \ffs^{(1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
|
|
\Biggr]~
|
|
\prod_{j = 1}^3 \phi_{\kmkrN{j}}
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
where $i = 1,\, 2,\, 3$ and:
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|
\begin{equation}
|
|
\begin{split}
|
|
\ffs^{(-3)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
|
& =
|
|
\Biggl(
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
k_{\qty(2)\, +}^4\, l_{\qty(3)}^4
|
|
-
|
|
4\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}^3
|
|
}{%
|
|
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
|
|
}
|
|
\\
|
|
& -
|
|
\frac{%
|
|
6\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\,l_{\qty(3)}^2 + k_{\qty(3)\, +}^4\, l_{\qty(2)}^4
|
|
}{%
|
|
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
|
|
}
|
|
\Biggr)\,
|
|
\cS_{v\, v},
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{split}
|
|
\ffs^{(-2)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
|
& =
|
|
\Biggl(
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
3 i\, \qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}^2
|
|
+
|
|
k_{\qty(2)\, +}^3\, l_{\qty(3)}^2
|
|
)
|
|
}{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
|
}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\frac{%
|
|
i\, \qty(%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
|
+
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
|
}
|
|
\\
|
|
& -
|
|
\frac{%
|
|
3 i\, \qty(%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^3\, l_{\qty(2)}^2
|
|
+
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
|
|
)
|
|
}{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
|
|
}
|
|
\Biggr)\,
|
|
\cS_{v\, v}
|
|
\\
|
|
& -
|
|
\qty(%
|
|
\frac{%
|
|
l_{\qty(3)}\,
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2-3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
|
+
|
|
3\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta^2
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\, z},
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{split}
|
|
\ffs^{(-1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
|
& =
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
-
|
|
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)^2
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\, v}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\Biggl(
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
|
+
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
|
}{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\frac{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\frac{%
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
6\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, \Delta
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}^4\, \Delta
|
|
}{%
|
|
4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2
|
|
}
|
|
\Biggr)\,
|
|
\cS_{v\, v}
|
|
\\
|
|
& -
|
|
\Biggl(%
|
|
\frac{%
|
|
i\, \qty(%
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
+
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2
|
|
}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\frac{%
|
|
i\, \qty(%
|
|
2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}
|
|
+
|
|
3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2
|
|
}
|
|
\Biggr)\,
|
|
\cS_{v\, z}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
\frac{%
|
|
k_{\qty(2)\, i}\, l_{\qty(3)}\,
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
-
|
|
2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\,{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
-
|
|
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)^2
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{z\, z},
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{split}
|
|
\ffs^{(0)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
|
& =
|
|
\qty(%
|
|
-\frac{%
|
|
i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\, v}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\,
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
-
|
|
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\, z}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
i\, \qty(%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
+
|
|
k_{\qty(2)\, +})\, \Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
|
|
}{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\, v}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
l_{\qty(3)}\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
|
|
-
|
|
2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\, z}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
\frac{%
|
|
i\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\,{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{z\, z}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
\frac{%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, i}\,
|
|
\qty(%
|
|
k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
|
|
-
|
|
k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
|
|
)
|
|
}{%
|
|
k_{\qty(3)\, +}
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{z\,{i}},
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{split}
|
|
\ffs^{(1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
|
|
& =
|
|
\qty(%
|
|
-k_{\qty(2)\, +}^2\, \Delta
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\, u}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-\Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\, v}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
|
)\,
|
|
\cS_{u\,{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
-
|
|
\frac{%
|
|
\Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)^2
|
|
}{%
|
|
4\, k_{\qty(2)\, +}^2
|
|
}
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\, v}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(%
|
|
2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
|
|
)\,
|
|
\cS_{v\,{i}}
|
|
\\
|
|
& +
|
|
\qty(- k_{\qty(2)\, i} k_{\qty(2)\, j}\, \Delta)\,
|
|
\cS_{{i}\,{j}}.
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|