We report the full expression of the overlap with two derivatives considered in the main text.
It corresponds to the colour ordered amplitude of two tachyons and one level-2 massive state:
\begin{equation}
  \begin{split}
    K
    & = 
    \cN^2
    \int \dd[D]{x}\,
    \sqrt{-\det g}
    \\
    & \times
    \Biggl[
      u^{-3}\, \ffs^{(-3)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
      +
      u^{-2}\, \ffs^{(-2)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
      \\
      & +
      u^{-1}\, \ffs^{(-1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
      +
      \ffs^{(0)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
      \\
      & +
      u\, \ffs^{(1)}_{\qty{\cS};\, \kmkrN{i}}
    \Biggr]~
    \prod_{j = 1}^3 \phi_{\kmkrN{j}}
  \end{split}
\end{equation}
where $i = 1,\, 2,\, 3$ and:
\begin{equation}
  \begin{split}
    \ffs^{(-3)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
    & =
    \Biggl(
        -
        \frac{%
          k_{\qty(2)\, +}^4\, l_{\qty(3)}^4
          -
          4\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}^3
        }{%
          4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
        }
        \\
        & -
        \frac{%
          6\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\,l_{\qty(3)}^2 + k_{\qty(3)\, +}^4\, l_{\qty(2)}^4
        }{%
          4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^4\, \Delta^3
        }
    \Biggr)\,
    \cS_{v\, v},
  \end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
  \begin{split}
    \ffs^{(-2)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
    & =
    \Biggl(
      -
      \frac{%
        3 i\, \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}^2
          +
          k_{\qty(2)\, +}^3\, l_{\qty(3)}^2
        )
      }{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
      }
      \\
      & +
      \frac{%
        i\, \qty(%
          2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
          +
          3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
        )
      }{%
        k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
      }
      \\
      & -
      \frac{%
        3 i\, \qty(%
          k_{\qty(3)\, +}^3\, l_{\qty(2)}^2
          +
          k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
        )
      }{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta
      }
    \Biggr)\,
    \cS_{v\, v} 
    \\
    & -
    \qty(%
      \frac{%
        l_{\qty(3)}\,
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2-3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
          +
          3\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^3\, \Delta^2
      }
    )\,
    \cS_{v\, z},
  \end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
  \begin{split}
    \ffs^{(-1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
    & =
    \qty(%
      -
      \frac{%
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
          -
          k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )^2
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
      }
    )\,
    \cS_{u\, v} 
    \\
    & +
    \Biggl(
      -
      \frac{%
        k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
        +
        k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}^2\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
      }{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
      }
      \\
      & +
      \frac{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}\, l_{\qty(3)}
      }{%
        k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
      }
      \\
      & +
      \frac{%
        3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
        6\, k_{\qty(2)\, +}^3\, k_{\qty(3)\, +}\, \Delta
        3\, k_{\qty(2)\, +}^4\, \Delta
      }{%
        4\, k_{\qty(2)\, +}^2\, k_{\qty(3)\, +}^2
      }
    \Biggr)\,
    \cS_{v\, v} 
    \\
    & -
    \Biggl(%
      \frac{%
        i\, \qty(%
          3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(3)}
          +
          3\, k_{\qty(2)\, +}^2\, l_{\qty(3)}
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^2
      }
      \\
      & +
      \frac{%
        i\, \qty(%
          2\, k_{\qty(3)\, +}^2\, l_{\qty(2)}
          +
          3\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^2
      }
    \Biggr)\,
    \cS_{v\, z} 
    \\
    & +
    \qty(%
      \frac{%
        k_{\qty(2)\, i}\, l_{\qty(3)}\,
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
          -
          2\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
      }
    )\,
    \cS_{v\,{i}} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
          -
          k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )^2
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}^2\, \Delta
      }
    )\,
    \cS_{z\, z},
  \end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
  \begin{split}
    \ffs^{(0)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
    & =
    \qty(%
      -\frac{%
        i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{u\, v} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}\,
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
          -
          k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{u\, z} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        i\, \qty(%
          k_{\qty(3)\, +}
          +
          k_{\qty(2)\, +})\, \Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
      }{%
        2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{v\, v} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        l_{\qty(3)}\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)
        -
        2\, k_{\qty(2)\, +}\, k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{v\, z} 
    \\
    & +
    \qty(%
      \frac{%
        i\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{v\,{i}} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        i\, k_{\qty(2)\, +}\, \qty(k_{\qty(3)\, +} + k_{\qty(2)\, +})\, \Delta
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{z\, z} 
    \\
    & +
    \qty(%
      \frac{%
        2\, k_{\qty(2)\, i}\,
        \qty(%
          k_{\qty(2)\, +}\, l_{\qty(3)}
          -
          k_{\qty(3)\, +}\, l_{\qty(2)}
        )
      }{%
        k_{\qty(3)\, +}
      }
    )\,
    \cS_{z\,{i}},
  \end{split}
\end{equation}
\begin{equation}
  \begin{split}
    \ffs^{(1)}_{\qty{\cS},\, \kmkrN{i}}
    & =
    \qty(%
      -k_{\qty(2)\, +}^2\, \Delta
    )\,
    \cS_{u\, u} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -\Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)\,
    )\,
    \cS_{u\, v} 
    \\
    & +
    \qty(%
      2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
    )\,
    \cS_{u\,{i}} 
    \\
    & +
    \qty(%
      -
      \frac{%
        \Delta\, \qty(r_{(2)} + \norm{\vec{k}_{(2)}}^2)^2
      }{%
        4\, k_{\qty(2)\, +}^2
      }
    )\,
    \cS_{v\, v} 
    \\
    & +
    \qty(%
      2\, k_{\qty(2)\, i}\, k_{\qty(2)\, +}\, \Delta
    )\,
    \cS_{v\,{i}} 
    \\
    & +
    \qty(- k_{\qty(2)\, i} k_{\qty(2)\, j}\, \Delta)\,
    \cS_{{i}\,{j}}.
  \end{split}
\end{equation}


